Расчёт балки на прогиб: формула, предельные значения и пример
Разбираем, как посчитать прогиб деревянной балки вручную: откуда берётся формула, какие нагрузки в неё подставлять и с чем сравнивать результат. В конце вас ждёт пример с числами, по которому можно сверить собственный расчёт, а затем проверить его в калькуляторе Timba.
Что такое прогиб и почему его считают отдельно
Прогиб — вертикальное перемещение балки под нагрузкой. Нормы разделяют две группы предельных состояний. Первая группа отвечает на вопрос, выдержит ли элемент: изгиб, скалывание, смятие, устойчивость. Вторая группа отвечает на вопрос, будет ли конструкцией комфортно пользоваться: перекрытие может уверенно нести нагрузку и при этом заметно провисать, зыбить под шагами и трясти посуду в шкафу.
Поэтому балку, прошедшую по прочности, обязательно проверяют ещё и по прогибу. Для лёгких деревянных перекрытий именно жёсткость чаще всего оказывается определяющей: сечение, у которого запас прочности ещё велик, по прогибу уже не проходит.
Формула для однопролётной балки
Считать вручную имеет смысл самый распространённый случай: один пролёт, шарнирные опоры по краям, равномерно распределённая нагрузка. Максимальный прогиб такой балки посередине пролёта считается по классической формуле сопротивления материалов (в СП её нет — нормы задают только предельное значение прогиба, о нём ниже):
где qн — нормативная погонная нагрузка, Н/мм (численно совпадает с кН/м);
L — расчётный пролёт, мм;
E — модуль упругости материала, МПа;
I — момент инерции сечения, мм⁴;
f — прогиб посередине пролёта, мм.
Четвёртая степень пролёта в числителе объясняет главное свойство прогиба: при увеличении пролёта в полтора раза прогиб растёт впятеро. Отсюда и практическое правило: с ростом пролёта высота сечения должна расти быстрее, чем кажется интуитивно. На длинных пролётах прогиб выходит на первое место и определяет сечение вместо прочности — как это выглядит на конкретных числах, разобрано в статье балка перекрытия на 6 метров.
Дальше нужно правильно определить три величины: нагрузку qн, момент инерции I и модуль упругости E. В каждой из них есть тонкость, на которой ошибаются чаще всего.
Какие нагрузки подставлять
Первая тонкость: для прогиба нагрузки берутся нормативные, без коэффициентов надёжности γf. Коэффициенты γf страхуют от разрушения и относятся к первой группе; прогиб же считается для обычной, повседневной эксплуатации.
Вторая тонкость: в расчёт входят не все нагрузки, а постоянные и длительные. Их состав для эстетико-психологической проверки прямо задан последней графой таблицы Д.1 СП 20.13330.2016 (позиция 2а):
- постоянные нагрузки входят целиком: вес пирога пола, подшивки, самой балки;
- полезная нагрузка (люди, мебель) входит с понижающим коэффициентом 0,35: длительно на перекрытии присутствует лишь часть её полного значения;
- снеговая, если считается покрытие, входит с коэффициентом 0,5.
Полное нормативное значение полезной нагрузки для квартир жилых зданий — 1,5 кПа, это около 150 кг/м² (таблица 8.3, позиция 1 СП 20.13330.2016). В расчёт прогиба из них войдёт 0,35 · 1,5 = 0,525 кПа. Погонная нагрузка на балку получается умножением на шаг балок: с какой полосы перекрытия нагрузка собирается на один элемент.
Жёсткость EI: момент инерции и модуль упругости
Момент инерции прямоугольного сечения считается в одну строку (справочная формула сопротивления материалов):
где b — ширина сечения;
h — высота сечения.
Для доски 50×150: I = 5 · 15³ / 12 = 1406 см⁴ = 14,06 · 10⁶ мм⁴.
Куб высоты в этой формуле — вторая половина практического правила: доска, поставленная на ребро, в девять раз жёстче той же доски плашмя. Высота сечения работает на жёсткость несравнимо эффективнее ширины.
С модулем упругости связана ошибка, которая встречается почти в каждом ручном расчёте. Среднее значение модуля упругости сосны и ели вдоль волокон E₀,ср = 10 000 МПа (приложение В.2 СП 64.13330.2017), и многие подставляют его напрямую. Но древесина ползёт: под длительной нагрузкой прогиб продолжает расти годами. Нормы учитывают это через пункт 6.10 СП 64: при расчёте по второй группе модуль умножается на коэффициент mдл,E, который для основного режима нагружения перекрытий (постоянная плюс длительная, режим Б по таблице 4 СП 64) равен 0,75:
формула (8), п. 6.10 СП 64.13330.2017;
E₀,ср = 10 000 МПа — среднее значение модуля упругости сосны и ели вдоль волокон, приложение В.2 СП 64;
mдл,E = 0,75 — коэффициент длительности для упругих характеристик, режим Б, п. 6.10 СП 64.
Расчёт с «голым» модулем 10 000 МПа занижает прогиб на четверть. Балка на бумаге проходит, а через пару лет эксплуатации провисание становится заметно на глаз.
С чем сравнивать: предельный прогиб
Посчитанный прогиб сравнивают с предельным fu по таблице Д.1 СП 20.13330.2016, позиция 2а — «балки, прогоны, плиты покрытий и перекрытий, открытых для обзора». Предел зависит от пролёта:
| Пролёт L | Предельный прогиб fᵤ | В миллиметрах |
|---|---|---|
| 1 м и менее | L/120 | 8,3 |
| 3 м | L/150 | 20 |
| 6 м | L/200 | 30 |
| 24 м | L/250 | 96 |
По таблице Д.1 (позиция 2а) СП 20.13330.2016. Для промежуточных пролётов предельные прогибы определяются линейной интерполяцией — примечание 2 к той же таблице.
Эти пределы называются эстетико-психологическими: провисшее перекрытие пугает и выглядит аварийным задолго до того, как ему начинает что-то угрожать по прочности. Как считается интерполяция для конкретного пролёта, покажем прямо в примере.
Пример расчёта от начала до конца
Дано. Балка перекрытия жилого дома: пролёт L = 4 м, шаг балок 0,6 м, доска 50×150 на ребро, сосна. Пирог пола весит 0,75 кПа, полезная нагрузка 1,5 кПа.
Шаг 1. Собираем нагрузку для прогиба
полезная: 0,35 · 1,5 · 0,6 = 0,315 кН/м
свой вес балки: 0,05 · 0,15 · 500 · 9,81 / 1000 ≈ 0,04 кН/м
qн = 0,45 + 0,315 + 0,04 ≈ 0,81 кН/м
где 0,75 кПа — принятый вес пирога пола (лаги, чёрный пол, покрытие, подшивка — уточняется по вашему составу);
1,5 кПа — полезная нагрузка для квартир жилых зданий, таблица 8.3, позиция 1 СП 20.13330.2016;
0,35 — понижающий коэффициент к полезной нагрузке для прогиба, таблица Д.1, позиция 2а СП 20;
0,6 м — шаг балок (грузовая полоса);
500 кг/м³ — плотность сосны, таблица Г.1 СП 64.13330.2017.
Свой вес балки мал, но привычка учитывать его спасает в расчётах тяжёлых клеёных балок, где он уже заметен.
Шаг 2. Жёсткость
Eᴵᴵ = 10 000 · 0,75 = 7500 МПа
момент инерции — справочная формула для прямоугольного сечения;
модуль упругости — формула (8), п. 6.10 СП 64.13330.2017.
Шаг 3. Прогиб
Следите за размерностями: q в Н/мм (численно совпадает с кН/м), L в мм, E в МПа, I в мм⁴, тогда результат получится в миллиметрах.
Шаг 4. Считаем предельный прогиб и сравниваем
Предельный прогиб для пролёта 4 м в таблице Д.1 не указан напрямую, поэтому интерполируем между соседними строками (примечание 2 к таблице Д.1 СП 20):
fᵤ(6 м) = 6000 / 200 = 30 мм
fᵤ(4 м) = 20 + (30 − 20) · (4 − 3) / (6 − 3) = 23,3 мм
Теперь сравнение — коэффициент использования по прогибу:
Балка не годится, хотя превышение кажется небольшим. Здесь нельзя «простить» десять процентов: ползучесть уже учтена по минимуму, а нагрузка взята длительной частью.
Шаг 5. Подбираем сечение
Берём следующую высоту из сортамента — 50×200. Свой вес вырастает до 0,05 кН/м (qн ≈ 0,82 кН/м), зато момент инерции увеличивается в 2,4 раза:
f = 5 · 0,82 · 4000⁴ / (384 · 7500 · 33,33 · 10⁶) ≈ 10,9 мм
КИ = 10,9 / 23,3 = 0,47 → 47 % → проходит
Пять сантиметров высоты уменьшили прогиб в два с лишним раза: так работает куб высоты в моменте инерции. Эти числа удобно использовать для самопроверки: если ваш ручной расчёт с теми же исходными данными даёт заметно другой результат, ошибка почти наверняка в размерностях или в модуле упругости.
Когда ручная формула не работает
Формула 5qL⁴/384EI выведена для одного частного случая, и границы у него жёсткие. Второй пролёт меняет всю картину: над средней опорой появляется отрицательный момент, прогибы перераспределяются, а худшим загружением часто оказывается не полная нагрузка, а нагрузка через пролёт. Консоль, точечная сила от стойки, частичная или треугольная нагрузка: каждый из этих случаев требует своего решения, и суммировать их «на глаз» нельзя.
Есть и уточнения, которые вручную обычно опускают: сдвиговая составляющая прогиба (для коротких высоких балок она ощутима) и перебор сочетаний нагрузок, когда их больше двух. Timba строит эпюру прогибов численно для схемы любой сложности, сама подставляет предельный прогиб по назначению конструкции и попутно закрывает остальные проверки по СП 64.
Частые вопросы
Почему прогиб считают по нормативным нагрузкам, а не по расчётным?
Прогиб относится ко второй группе предельных состояний: он про эксплуатацию, а не про разрушение. Поэтому коэффициенты надёжности γf не применяются, а из временных нагрузок берётся длительная часть: полезная с коэффициентом 0,35, снег с коэффициентом 0,5.
Откуда берётся предел L/250 «из интернета»?
Это значение из таблицы Д.1 СП 20 для пролётов от 24 м, и к бытовым пролётам оно отношения не имеет. Для пролёта 3 м норма даёт L/150, для 6 м L/200, промежуточные значения по интерполяции. Универсального «L/250 для всего» в нормах нет.
Когда формула 5qL⁴/384EI не работает?
Она выведена для одного пролёта с шарнирными опорами и равномерной нагрузкой по всей длине. Два пролёта, консоль, точечная сила, частичная нагрузка требуют расчёта по схеме целиком, обычно численного.
Можно ли проверить ручной расчёт онлайн бесплатно?
Да. В Timba расчёт прогиба и всех проверок прочности бесплатный и доступен без регистрации. Задайте ту же схему и нагрузки и сравните результат с ручным расчётом; платная только печать готовой расчётной записки.
Сверьте свой расчёт
Задайте пример из статьи в Timba: та же балка считается за минуту, вместе с прогибом программа проверит изгиб, скалывание, смятие и устойчивость; всё бесплатно и без регистрации.
Открыть калькулятор балки