Балка перекрытия на пролёт 6 метров

17 августа 202613 минут чтения

Балка с пролётом шесть метров — это тот случай, когда привычная доска 50×200 уже не может быть использована с привычным шагом 600 мм. Даже при шаге 400 мм она используется на 128 %, а при 600 мм — на 190 %. Когда мы доходим до таких пролётов, речь начинает идти не о сечениях, а о конструктивной схеме в целом. Балки можно сдвоить между собой, можно уменьшить шаг до 300 мм, можно пересмотреть материал балки или саму схему перекрытия.

Короткий ответ

Мы посчитали для вас лагу перекрытия второго этажа жилого дома. Схема: однопролётная свободно опёртая балка длиной 6 м. Материал: доска сосны или ели 2-го сорта, сухая эксплуатация, верхняя кромка раскреплена настилом пола по всей длине. Нагрузки: 75 кг/м² от пирога пола и 150 кг/м² полезной. В ячейке указан коэффициент использования по самой неблагоприятной из пяти проверок: изгиб, прогиб, скалывание, смятие на опоре, устойчивость плоской формы. Красное значение больше 100 % означает, что сечение на этом шаге использовать не допускается.

Сечение, мм	Шаг 400 мм	Шаг 500 мм	Шаг 600 мм
50×200	128 % ✗	159 % ✗	190 % ✗
50×250	83 % ✓	103 % ✗	122 % ✗
50×300	58 % ✓	72 % ✓	86 % ✓
2×50×200	70 % ✓	85 % ✓	99 % ✓
2×50×250	44 % ✓	54 % ✓	63 % ✓
2×50×300	31 % ✓	38 % ✓	45 % ✓

Расчёт выполнен в Timba по СП 64.13330.2017 и СП 20.13330.2016; нагрузки и все промежуточные числа раскрыты ниже. Запись 2×50×200 — две доски по 50 мм высотой 200, сшитые между собой и работающие рядом: их несущая способность складывается.

Что видно из таблицы. У сечений высотой 200 мм изгиб и прогиб на этом пролёте практически равны: у сдвоенной 2×50×200 при шаге 600 мм это 97,7 % против 99,2 %. У сечений 250 мм и выше преобладает изгиб, а у сечений ниже 200 мм — прогиб: доска 50×150 при шаге 400 мм даёт 226 % по изгибу и сразу 295 % по прогибу. Почему так выходит, мы объясним ниже.

Что меняется на шести метрах

Дело в формулах, по которым мы производим расчёт. Изгибающий момент растёт пропорционально квадрату пролёта, а прогиб — четвёртой степени:

Изгибающий моментM = q·L² / 8
где M — расчётный изгибающий момент;
q — расчётная погонная нагрузка;
L — расчётный пролёт.
Справочная формула сопротивления материалов; в СП 64 её нет.

Прогиб от изгибаf = 5·q_н·L⁴ / (384·E^II·I)
где f — прогиб от изгиба;
q_н — нормативная погонная нагрузка;
L — расчётный пролёт;
E^II — расчётный модуль упругости 2-й группы предельных состояний;
I — момент инерции сечения.
Справочная формула сопротивления материалов. Полный прогиб включает ещё добавку от деформаций сдвига (пункт 7.35 СП 64); все числа прогиба в статье приведены с ней, а в примере она показана отдельной строкой.

Возьмём одну доску 50×200 при шаге 600 мм и одну и ту же нагрузку, поменяв только пролёт. На четырёх метрах момент равен 3,62 кН·м, прогиб — 11,4 мм при допуске 24 мм: по изгибу израсходовано 84 % несущей способности, по прогибу — 47 %. На шести метрах момент становится 8,14 кН·м, то есть больше в 2,25 раза, ровно как отношение квадратов пролётов. А прогиб вырастает до 56,1 мм — в 4,9 раза.

Допустимый прогиб при этом увеличивается всего с 24 до 30 мм, в 1,25 раза. Итог: по изгибу коэффициент использования поднимается с 84 до 190 %, по прогибу — с 47 до 187 %. На четырёх метрах прогиб расходовал почти вдвое меньшую долю, чем прочность, — 47 % против 84 %, — а на шести они сравнялись. Чем ниже сечение, тем раньше прогиб становится самой неблагоприятной проверкой: жёсткость зависит от высоты в кубе, а прочность — в квадрате.

Отсюда практическое следствие. Чтобы сохранить тот же запас при увеличении пролёта в полтора раза, высоту сечения приходится увеличивать тоже примерно в полтора раза, а не на один типоразмер: на четырёх метрах при шаге 600 мм доска 50×200 даёт 84 %, на шести при том же шаге 50×300 даёт 86 %.

Предельный прогиб на этом пролёте

Предельные прогибы задаёт таблица Д.1 приложения Д СП 20.13330.2016 (в редакции Изменения № 3, приказ Минстроя России от 30.12.2020 № 897/пр). Балки перекрытий, открытых для обзора, нормируются по позиции 2, перечисление а), исходя из эстетико-психологических требований:

Пролёт l, м	l ≤ 1	l = 3	l = 6	l = 24 (12)	l ≥ 36 (24)
Предельный прогиб f_u	l/120	l/150	l/200	l/250	l/300

По таблице Д.1, позиция 2, перечисление а), СП 20.13330.2016. Промежуточные значения — линейной интерполяцией (примечание 2 к таблице). Цифры в скобках принимают при высоте помещений до 6 м включительно (примечание 3), то есть в жилом доме именно они и действуют. За расчётный пролёт принимается расстояние между точками опирания элемента (примечание 1).

Пролёт, равный шести метрам, имеет точное значение в таблице, интерполировать ничего не нужно.

Предельный прогиб на пролёте 6 метровf_u = l / 200 = 6000 / 200 = 30 мм
для сравнения, на пролёте 4 м знаменатель интерполируется между узлами l = 3 и l = 6:
150 + (200 − 150)·(4 − 3)/(6 − 3) = 166,7; f_u = 4000 / 166,7 = 24,0 мм;
таблица Д.1, позиция 2, перечисление а) СП 20.13330.2016, промежуточные значения — по примечанию 2 к таблице.

Согласно этим нормам мы видим, что чем больше пролёт, тем меньший прогиб на единицу длины нам разрешают допускать в конструкции. Это вторая причина, почему с пролётом шесть метров больше проблем, чем с четырьмя.

Какие нагрузки берут для прогиба

В той же таблице Д.1 есть графа с нагрузками для определения вертикальных прогибов, и для позиции 2а она читается так: постоянные и длительные, а также нагрузки таблицы 8.3 с понижающим коэффициентом 0,35 и снеговые с коэффициентом 0,5. Расчётная ситуация для эстетико-психологических требований — действие постоянных и длительных нагрузок (пункт Д.1.5).

Полезная нагрузка для квартир жилых зданий, спальных помещений и палат — 1,5 кПа, около 150 кг/м² (таблица 8.3, позиция 1). В проверку прочности она входит полностью и с коэффициентом надёжности по нагрузке 1,3, который назначается при нормативном значении менее 2,0 кПа (пункт 8.2.7). В проверку прогиба — с коэффициентом 0,35, то есть 0,53 кПа. Пирог пола взят 0,75 кПа, примерно 75 кг/м² — это состав, собранный для одного из наших проектов: лаги, чёрный пол, покрытие, подшивка потолка. Нормой это число не задано, у другого пирога оно будет другим, и собирать его нужно по своим слоям. По таблице 7.1 его коэффициент надёжности 1,3 (слои, выполняемые на строительной площадке), а собственного веса балки 1,1 (деревянные конструкции).

Отдельная тонкость касается жёсткости. Прогиб считают не по среднему модулю упругости, а по расчётному модулю 2-й группы предельных состояний:

Расчётный модуль упругости для проверки прогибаE^II = E_ср · m_дл,E · Пm_i = 10 000 · 0,75 = 7500 МПа
где E_ср — средний модуль упругости при изгибе, 10 ГПа для сосны и ели (приложение В СП 64);
m_дл,E — коэффициент длительности нагружения для упругих характеристик, для режима нагружения Б — 0,75;
Пm_i — произведение коэффициентов условий работы, здесь равно 1.
Формула (8), пункт 6.10 СП 64.13330.2017.

Режим Б в таблице 4 СП 64 описан так: совместное действие постоянной и длительной временной нагрузок, напряжение от которых превышает 80 % полного напряжения в элементах конструкций от всех нагрузок. Для проверки прочности та же балка относится к режиму В: там в сочетание входит вся полезная нагрузка целиком, и доля постоянной с длительной оказывается заметно ниже 80 %. Но эстетико-психологический прогиб считают в другой расчётной ситуации — только постоянные и длительные нагрузки (пункт Д.1.5 СП 20), и в ней их доля равна 100 %. Это и есть режим Б, то есть полная ползучесть, которую предписывает учитывать пункт Д.1.2 СП 20.

Четверть жёсткости теряется не ради запаса на всякий случай. Древесина хвойных пород почти целиком состоит из трахеид — вытянутых мёртвых клеток, стенки которых собраны из целлюлозных микрофибрилл, погружённых в матрицу из лигнина и гемицеллюлоз. Целлюлозный каркас работает почти упруго, а матрица — вязкий аморфный полимер: под нагрузкой, которая действует годами, она медленно перестраивается, и микрофибриллы понемногу проскальзывают друг относительно друга. Балка, прогнувшаяся в первый день на 20 мм, через несколько лет прогнётся заметно больше; коэффициент 0,75 переводит эту ползучесть в число.

Что можно сделать, не увеличивая высоту доски

Уменьшить шаг. Работает арифметически, но не экономит материал. Доска 50×200 при шаге 300 мм даёт на шести метрах ровно те же 99 %, что и сдвоенная 2×50×200 при шаге 600: на квадратный метр перекрытия приходится одинаковый объём древесины. Меняется раскладка и трудоёмкость, а не расход.

Сдвоенные сечения. Две доски, сшитые между собой и стоящие рядом, работают каждая сама за себя, поэтому их несущая способность складывается без понижающих коэффициентов — в отличие от составных по высоте пакетов на податливых связях, где момент сопротивления умножается на коэффициент k_w по таблице 15 СП 64.

Промежуточная опора или прогон. Самый дешёвый выход: разделить пролёт пополам. Момент падает вчетверо, изгибная часть прогиба в шестнадцать раз, а полный прогиб с добавкой от сдвига в пятнадцать; та же доска 50×200 при шаге 600 мм, дающая на шести метрах 190 %, укладывается в 47 % по изгибу и 19 % по прогибу. Числа посчитаны для двух разрезных балок по 3 м, состыкованных над средней опорой: это схема в запас и без вопроса о невыгодном загружении одного пролёта, который возникает у неразрезной балки.

Промежуточная опора (прогон на столбах или несущая перегородка) превращает шесть метров в два пролёта по три. Балки показаны разрезными: каждая опирается на среднюю опору своим концом. Прогиб на схемах увеличен, в масштабе чертежа 56 мм на шести метрах — это линия толщиной в волос.

Ферма. На шести метрах и дальше выгоднее становится не сплошное сечение, а решётчатая конструкция: материал уносится в пояса, где он работает на растяжение и сжатие, а середина сечения, почти не нагруженная в балке, исчезает.

Другие материалы. Клеёная древесина, LVL и деревянные двутавры перекрывают шесть метров заметно меньшим сечением, чем доска естественной влажности: у них выше и прочность, и жёсткость, и стабильность геометрии. Конкретные размеры зависят от производителя и марки, поэтому сравнивать их с доской по таблице пиломатериалов некорректно.

Опирание и скалывание

Вместе с пролётом растёт опорная реакция: у балки из примера ниже она равна 5,59 кН против 3,62 кН у доски 50×200 на четырёх метрах. Обе проверки, связанные с опорой, при этом остаются далеко от предела. Скалывание вдоль волокон проверяется по формуле (24) пункта 7.10 СП 64 и расходует четверть несущей способности. Смятие поперёк волокон на опоре сравнивается с расчётным сопротивлением по таблице 3, позиция 4а СП 64 — 4,5 МПа для местного смятия в опорных частях; повышающий коэффициент формулы (4) пункта 6.4 к опорным частям не применяется, норма исключает их прямо.

Требуемая по смятию длина опирания получается меньше 20 мм, то есть площадку эта проверка практически не ограничивает. Минимальное опирание — вопрос практики, а не нормы: обычно принимают 150 мм на каменную стену и не менее 100 мм на деревянную обвязку, чтобы иметь запас на неточность кладки и усушку. Отдельно стоит помнить про подрезку опорного конца: она резко ужесточает проверку скалывания, и на длинной балке с большой опорной реакцией это самый уязвимый узел — разбор есть в статье о расчёте балки на скалывание.

Пример: балка перекрытия на пролёт 6 метров

Сечение 2×50×200, шаг 600 мм, сосна 2-го сорта, опирание 150 мм, верхняя кромка раскреплена настилом по всей длине.

Шаг 1. Сбор нагрузок

Расчётная и нормативная погонная нагрузкаq = 0,75·1,3·0,6 + 1,5·1,3·0,6 + 0,098·1,1 = 0,585 + 1,170 + 0,108 = 1,863 кН/м
q_н = 0,75·0,6 + 0,35·1,5·0,6 + 0,098 = 0,450 + 0,315 + 0,098 = 0,863 кН/м
где 0,75 кПа — пирог пола, собранный для одного из наших проектов (не нормативная величина), γ_f = 1,3 (таблица 7.1 СП 20);
1,5 кПа — полезная нагрузка, таблица 8.3, позиция 1 СП 20, γ_f = 1,3 (пункт 8.2.7);
0,098 кН/м — собственный вес балки: 0,1·0,2·500·9,81/1000, где 500 кг/м³ — плотность сосны и ели для условий эксплуатации 1 и 2 по таблице Г.1 СП 64; γ_f = 1,1;
0,6 м — шаг балок, он же грузовая ширина;
0,35 — понижающий коэффициент к нагрузкам таблицы 8.3 для проверки прогиба (таблица Д.1, позиция 2а СП 20).

Шаг 2. Прочность при изгибе

Проверка прочности по нормальным напряжениямM = q·L²/8 = 1,863·6,0²/8 = 8,38 кН·м
W = b·h²/6 = 100·200²/6 = 666 667 мм³
σ = M/W = 8,38·10⁶ / 666 667 = 12,57 МПа
R_и·m_дл = 19,5·0,66 = 12,87 МПа → 12,57 / 12,87 = 97,7 %
формула (23), пункт 7.9 СП 64.13330.2017: M/W_расч ≤ R_и;
R_и = 19,5 МПа — таблица 3, позиция 1, 2-й сорт, элементы прямоугольного сечения;
m_дл = 0,66 — режим нагружения В, совместное действие постоянной, длительной и нагрузок от людей на перекрытия жилых зданий (таблица 4);
W — справочная формула сопротивления материалов для прямоугольного сечения.

Шаг 3. Прогиб

Проверка по прогибуI = b·h³/12 = 100·200³/12 = 66 666 667 мм⁴
f_изг = 5·0,863·6000⁴ / (384·7500·66 666 667) = 29,13 мм
f_сдв = 1,2·M_н/(G^II·A) = 1,2·3,88·10⁶ / (375·20 000) = 0,62 мм
f = f_изг + f_сдв = 29,13 + 0,62 = 29,75 мм
f_u = 6000/200 = 30 мм → 29,75 / 30 = 99,2 %
прогиб определяется с учётом деформаций сдвига — пункт 7.35 СП 64;
E^II = 7500 МПа и G^II = 500·0,75 = 375 МПа — по формуле (8), пункт 6.10 СП 64; средние значения E_ср = 10 ГПа и G_ср = 0,5 ГПа — приложение В СП 64;
M_н = q_н·L²/8 = 3,88 кН·м — момент от нормативной нагрузки; A = b·h = 20 000 мм²;
f_u — таблица Д.1, позиция 2, перечисление а) СП 20;
выражения для I, f_изг и f_сдв — справочные формулы сопротивления материалов.

Шаг 4. Скалывание, смятие, устойчивость

Остальные три проверкиQ = q·L/2 = 1,863·6,0/2 = 5,59 кН
τ = 1,5·Q/(b·h) = 1,5·5590/(100·200) = 0,42 МПа ≤ 2,4·0,66 = 1,58 МПа  →  26,5 %
σ_см = Q/(b·l_см) = 5590/(100·150) = 0,37 МПа ≤ 4,5·0,66 = 2,97 МПа  →  12,5 %
φ_м = 1  →  устойчивость плоской формы: 97,7 %
скалывание — формула (24), пункт 7.10 СП 64; R_ск = 2,4 МПа, таблица 3, позиция 5а, 2-й сорт;
смятие поперёк волокон на опоре — R_см = 4,5 МПа, таблица 3, позиция 4а СП 64;
φ_м = 1 принимается потому, что сжатая кромка закреплена от смещения из плоскости по всей длине: потеря устойчивости плоской формы деформирования (пункт 7.14 СП 64) исключена, и проверка совпадает с проверкой прочности;
τ = 1,5Q/(bh) — справочная формула сопротивления материалов для прямоугольного сечения.

Вердикт. Все пять проверок выполняются: изгиб 97,7 %, прогиб 99,2 %, скалывание 26,5 %, смятие 12,5 %, устойчивость 97,7 %. Сечение 2×50×200 при шаге 600 мм проходит шесть метров, но запаса у него практически нет, и самой неблагоприятной оказывается проверка по прогибу. Пирог пола тяжелее наших 75 кг/м² или доска 3-го сорта вместо 2-го — и результат уйдёт за 100 %. Спокойнее выглядят 2×50×250 при том же шаге (63 %) или шаг 500 мм (85 %).

Когда таблица не работает

Всё, что выше, описывает один случай: рядовая балка перекрытия, повторяющаяся с постоянным шагом, на один пролёт, со свободным опиранием, под равномерной нагрузкой. Расчётная схема меняется, когда:

поперёк балок стоит перегородка — это линейная нагрузка в произвольной точке пролёта, а не добавка к равномерной;
перекрытие обрывается на второй свет, и часть балок опирается не на стену, а на обвязочную балку у проёма, которая собирает нагрузку с нескольких балок сразу;
сверху эксплуатируемая мансарда, а не чердак: полезная нагрузка и состав пирога другие;
на перекрытии тяжёлое оборудование — ванна, печь, аквариум, котёл: это сосредоточенная нагрузка, и худшее её положение нужно искать;
на опоре есть подрезка или вырез, меняющие работу сечения.

В каждом из этих случаев число из таблицы перестаёт относиться к вашей балке, и схему нужно считать целиком. Как собираются нагрузки, подробно разобрано в статье о сборе нагрузок на перекрытие, проверка прочности — в статье о расчёте балки на изгиб, проверка жёсткости с примерами — на странице расчёта балки на прогиб. Если пролёт у вас всё-таки четыре метра, а не шесть, готовая таблица есть в статье о том, как перекрыть деревянной балкой пролёт 4 метра.

Источники

СП 20.13330.2016 Нагрузки и воздействия: таблица 7.1 (коэффициенты надёжности для веса конструкций), таблица 8.3 и пункт 8.2.7 (равномерно распределённые нагрузки и γ_f), приложение Д — таблица Д.1, пункты Д.1.2 и Д.1.5 (предельные прогибы и нагрузки для их определения).
СП 64.13330.2017 Деревянные конструкции: таблица 3 (расчётные сопротивления), таблица 4 (режимы нагружения), пункт 6.4 и формула (4), пункт 6.10 и формула (8), пункт 7.9 и формула (23), пункт 7.10 и формула (24), пункт 7.14, пункт 7.35 (учёт деформаций сдвига), пункт 9.17, приложение Г (плотность древесины), приложение В (модули упругости).
Wood Handbook: Wood as an Engineering Material. General Technical Report FPL-GTR-190, Forest Products Laboratory, USDA Forest Service — строение древесины и ползучесть при длительном нагружении.

Проверьте свой пролёт с вашими нагрузками

Шесть метров — тот случай, когда таблица из статьи почти наверняка не совпадёт с вашим перекрытием: другой пирог пола, другой сорт доски, перегородка поперёк. Timba посчитает вашу схему по всем пяти проверкам и покажет, из чего сложился каждый процент. Бесплатно и без регистрации.

Посчитать свою балку