Расчёт балки на изгиб

Разбираем прочностной расчёт балки при изгибе: откуда берутся три формулы, какие нагрузки в них подставлять и с каким сопротивлением сравнивать результат. В конце — пример с числами для самопроверки. Считаем деревянную балку, а для стальной покажем, что меняется. Проверка жёсткости — отдельная история, она разобрана в статье «Расчёт балки на прогиб».

Что проверяет расчёт на изгиб

Расчёт на изгиб отвечает на вопрос прочности: выдержит ли сечение наибольшие нормальные напряжения, которые возникают в крайних волокнах балки под нагрузкой. Это проверка первой группы предельных состояний. Логика простая: находим самое нагруженное сечение, считаем в нём напряжение и сравниваем с тем, что материал способен выдержать.

Три формулы

Для самого распространённого случая (один пролёт, шарнирные опоры, равномерно распределённая нагрузка) ручной расчёт складывается из трёх шагов.

Максимальный изгибающий момент возникает посередине пролёта (справочная формула сопротивления материалов):

Момент сопротивления прямоугольного сечения (справочная формула):

Сама проверка прочности — формула (23) п. 7.9 СП 64.13330.2017:

Квадрат высоты в W объясняет, почему доска на ребре несёт в разы больше той же доски плашмя, а квадрат пролёта в M — почему лишний метр пролёта влияет на прочность сильнее, чем кажется.

Какие нагрузки подставлять

Главное отличие от расчёта прогиба: прочность считается по расчётным нагрузкам. Нормативные значения умножаются на коэффициенты надёжности γf, и берётся полная нагрузка, а не длительная часть. Логика такая: прогиб описывает повседневную эксплуатацию, а прочность обязана выдержать редкий неблагоприятный случай.

• полезная нагрузка (люди, мебель): γf = 1,3 при нормативном значении менее 2,0 кПа — п. 8.2.7 СП 20.13330.2016;
• вес пирога пола (стяжки, засыпки, отделочные слои, выполняемые на площадке): γf = 1,3 — таблица 7.1 СП 20;
• собственный вес деревянных конструкций: γf = 1,1 — таблица 7.1 СП 20.

Нормативные значения те же, что и всегда: полезная для квартир жилых зданий равна 1,5 кПа, это около 150 кг/м² (таблица 8.3, позиция 1 СП 20); вес пирога зависит от вашего состава пола.

Расчётное сопротивление

Расчётное сопротивление изгибу Rи берётся из таблицы 3 СП 64 и зависит от сорта древесины. Для доски и бруса прямоугольного сечения (позиция 1а):

По таблице 3 СП 64.13330.2017 в актуальной редакции, позиция 1а.

Подставлять табличное значение напрямую нельзя: его умножают на коэффициенты условий работы по п. 6.9 СП 64. Для сухого отапливаемого помещения большинство из них равны единице, но один работает всегда: коэффициент длительности m_дл по таблице 4. Перекрытие несёт свою нагрузку годами, и под длительным нагружением древесина разрушается при напряжении заметно ниже кратковременного «паспортного». Для режима с полезной нагрузкой (постоянная плюс кратковременная, режим В таблицы 4) m_дл = 0,66:

Забытый m_дл завышает несущую способность в полтора раза; это самый частый источник расхождений между честными расчётами и «народными» таблицами из интернета.

Пример расчёта

Дано. Балка перекрытия жилого дома: пролёт L = 4 м, шаг балок 0,6 м, доска 50×200 на ребро, сосна 2-го сорта. Пирог пола принят 0,75 кПа (уточняется по вашему составу), полезная нагрузка 1,5 кПа. Это та же балка, что в примере статьи о прогибе: числа можно сверять между статьями.

Шаг 1. Собираем расчётную нагрузку

Шаг 2. Момент и момент сопротивления

Шаг 3. Напряжение и сравнение

Следите за размерностями: M переводится в Н·мм (×10⁶), W остаётся в мм³ — тогда σ получится в МПа.

Шаг 4. А если взять 50×150?

Полезное сравнение с прогибом: у той же доски 50×150 на том же пролёте жёсткость исчерпана на 110 %, а прочность на 149 %. Определяющей проверкой здесь оказывается изгиб. У 50×200 наоборот: прочность 84 %, прогиб около 47 %. Какая проверка решит, заранее не скажешь — зависит от сечения, пролёта и нагрузки, поэтому считать нужно обе.

Если балка стальная

Механика та же: M = qL²/8, W из сортамента профиля, проверка σ = M/W ≤ Ry·γc по СП 16.13330.2017, где Ry — расчётное сопротивление стали (для конкретной марки берётся по таблице В.5 СП 16). Отличий от дерева два. Расчётное сопротивление стали на порядок выше деревянного, поэтому стальные балки при той же нагрузке гораздо компактнее. И коэффициент длительности стали не нужен: металл под постоянной нагрузкой не теряет прочность со временем, зато добавляются свои проверки — местная устойчивость полок и стенки, для составных сечений своя механика. Timba считает деревянные конструкции.

Когда формулы не работают

Формула M = qL²/8 живёт в тех же границах, что и формула прогиба: один пролёт, шарнирные опоры, равномерная нагрузка по всей длине. Второй пролёт, консоль, точечная сила от перегородки или стойки, частичное загружение: в каждом из этих случаев эпюра моментов другая, и максимум может оказаться не посередине пролёта, а над опорой, со сменой знака. Для составных и клеёных сечений к Rи добавляются свои коэффициенты, у высоких сечений появляется вопрос устойчивости плоской формы.

Timba строит эпюру моментов численно для схемы любой сложности, сама применяет коэффициенты условий работы по составу сочетания и попутно закрывает остальные проверки по СП 64, включая те, которые вручную обычно не считают вовсе.