Timba / Статьи / Расчёт балки на скалывание

Расчёт балки на скалывание

28 июля 202611 минут чтения

Скалывание вдоль волокон — проверка касательных напряжений у опор балки. Для длинных балок перекрытия она почти всегда проходит с большим запасом, и потому её часто опускают. Но у неё есть свои опасные зоны, и главная из них — подрезка опорного конца, где та же самая балка внезапно оказывается на пределе. Разберём физику скалывания, формулу по СП 64 и оба случая на числах.

Что проверяет скалывание

Когда балка изгибается, её волокна не только растягиваются и сжимаются вдоль, но и стремятся сдвинуться друг относительно друга. Наглядная модель — стопка досок, положенная на две опоры: под нагрузкой доски проскальзывают краями одна по другой, потому что ничто не мешает им сдвигаться. В цельной балке этому сдвигу сопротивляется сама древесина, и напряжение такого сдвига называют касательным. Проверка на скалывание сравнивает наибольшее касательное напряжение с тем, что древесина способна выдержать вдоль волокон. Это проверка первой группы предельных состояний — по прочности.

Касательные напряжения в изгибаемой балке распределены по высоте сечения неравномерно: у верхней и нижней кромок они равны нулю, а наибольшего значения достигают на нейтральной оси, посередине высоты. По длине балки касательные напряжения повторяют эпюру поперечной силы Q: максимум у опор, где Q наибольшая, и ноль в середине пролёта у однопролётной балки. Поэтому скалыванием опасны именно приопорные зоны, а не середина, где ближе к пределу изгиб и прогиб.

Почему древесина слаба на скалывание вдоль волокон

Строение древесины делает скалывание вдоль волокон одним из самых слабых её мест. Ствол сложен из вытянутых клеток-трахеид, ориентированных вдоль волокон; между собой соседние клетки скреплены тонкой прослойкой лигнина — срединной пластинкой, играющей роль клея (Wood Handbook, гл. 3). Сами стенки клеток из целлюлозных микрофибрилл прочны на разрыв вдоль, но связь между клетками намного слабее.

Скалывание вдоль волокон — это сдвиг одних продольных слоёв древесины относительно других. Разрушение идёт не по стенкам клеток, а по срединной пластинке между ними: клетки проскальзывают одна вдоль другой, разрывая лигниновый шов. Именно поэтому расчётное сопротивление скалыванию доски сосны 2-го сорта — 2,4 МПа, то есть в восемь с лишним раз меньше сопротивления изгибу вдоль волокон (19,5 МПа). Древесина хорошо сопротивляется продольной нагрузке и почти не сопротивляется продольному сдвигу: такова цена её волокнистого строения.

Скалывание и срез — не одно и то же. При скалывании слои древесины сдвигаются вдоль волокон, разрывая связь между ними. При срезе поперёк волокон рвутся сами клетки, и сопротивление там в разы выше. В изгибаемой балке речь всегда идёт о скалывании вдоль волокон — самом слабом из двух механизмов, поэтому именно оно нормируется.

Формула и расчётное сопротивление

Проверку на скалывание изгибаемых элементов задаёт формула (24) пункта 7.10 СП 64.13330.2017:

Проверка прочности по скалываниюQ · Sпр / (Iпр · bрас) ≤ Rск
формула (24), п. 7.10 СП 64.13330.2017;
Q — расчётная поперечная сила, Н;
Sпр — статический момент сдвигаемой части сечения относительно нейтральной оси, мм³;
Iпр — момент инерции сечения относительно нейтральной оси, мм⁴;
bрас — расчётная ширина сечения, мм;
Rск — расчётное сопротивление скалыванию при изгибе, МПа.

Это общая формула Журавского из сопротивления материалов, записанная в нормах через характеристики сечения. Для прямоугольного сечения статический момент, момент инерции и ширина сводятся к простому виду, и формула превращается в удобную для ручного счёта:

Касательное напряжение прямоугольного сеченияτ = 1,5 · Q / (b · h)
справочное упрощение формулы (24) для прямоугольника;
b — ширина сечения, мм;
h — высота сечения, мм;
множитель 1,5 — отношение максимального касательного напряжения к среднему для прямоугольника (параболическое распределение по высоте).

Множитель 1,5 стоит запомнить: касательное напряжение на нейтральной оси в полтора раза больше среднего по сечению. Расчётное сопротивление скалыванию при изгибе цельной древесины берётся из таблицы 3 СП 64, позиция 5а:

СортRск, МПа
1 сорт2,7
2 сорт2,4
3 сорт2,4

По таблице 3, позиция 5а СП 64.13330.2017 (скалывание при изгибе элементов из цельной древесины).

К табличному сопротивлению применяются коэффициенты условий работы по п. 6.9 СП 64. Для перекрытия с полезной нагрузкой (режим В таблицы 4 — постоянная, длительная временная и нагрузки от людей) действует коэффициент длительности mдл = 0,66:

Расчётное сопротивление скалываниюRd = Rск · mдл = 2,4 · 0,66 = 1,58 МПа
Rск = 2,4 МПа — таблица 3, позиция 5а СП 64;
mдл = 0,66 — режим В (перекрытия с нагрузкой от людей), таблица 4 СП 64.

Пример 1. Обычная балка перекрытия

Дано. Сквозная балка примера серии: однопролётная, L = 4 м, шаг 0,6 м, доска 50×200, сосна 2-го сорта, расчётная нагрузка q = 1,81 кН/м (сбор нагрузки разобран в статье об изгибе). Опорный конец не подрезан.

Поперечная сила, касательное напряжение и запасQ = q · L / 2 = 1,81 · 4 / 2 = 3,62 кН
τ = 1,5 · 3620 / (50 · 200) = 0,54 МПа
КИ = 0,54 / 1,58 = 0,34 → 34 % → проходит

Троекратный запас. Для обычной балки перекрытия скалывание почти всегда проходит именно так: у таких балок длинный пролёт, и к пределу ближе изгиб с прогибом, а касательные напряжения остаются далеко от него. Именно поэтому проверку часто и опускают. Но стоит подрезать опорный конец, и та же балка ведёт себя иначе.

Пример 2. Подрезка на опоре

Опорный конец балки часто подрезают снизу, чтобы балка села на опору заподлицо с её низом или вошла в габарит. Такая подрезка резко повышает опасность скалывания: над вырезом остаётся меньшая рабочая высота, а во входящем угле подреза возникает концентрация напряжений, вдоль которой волокна легко раскалываются. Поэтому нормы проверяют подрезанный конец отдельно и жёстко.

СП 64 (формула 85) ограничивает среднее касательное напряжение по полному сечению подрезанной балки величиной всего 0,4 МПа — вчетверо строже обычного сопротивления скалыванию:

Проверка конца балки с подрезкойA / (b · h) ≤ 0,4 МПа
формула (85) СП 64.13330.2017 для конца балки с подрезкой;
A — опорная реакция от расчётной нагрузки, Н;
b, h — ширина и высота сечения без подрезки, мм.

Дано. Та же балка 50×200, та же нагрузка, опорная реакция A = 3,62 кН, но конец подрезан снизу.

Напряжение на подрезанной опоре и запасA / (b · h) = 3620 / (50 · 200) = 0,36 МПа
КИ = 0,36 / 0,4 = 0,90 → 90 % → проходит впритык

Та же балка, что в первом примере имела троекратный запас, с подрезкой опоры оказывается на девяноста процентах предела. Чуть большая реакция, чуть более нагруженный пролёт — и подрезанный конец не проходит. А если глубина подрезки превышает четверть высоты сечения, СП 64 требует усиливать зону подрезки вклеенными стержнями — поперечными и наклонными под 45° к волокнам, — которые сшивают древесину поперёк линии возможного скола.

Скалывание — четвёртая из пяти проверок балки. Полный набор: изгиб, прогиб, смятие, скалывание и устойчивость плоской формы. Как проверка скалывания устроена в программе — в справке по расчёту балки.

Когда скалывание важно знать

Из двух примеров виден принцип: скалывание требует внимания там, где велика поперечная сила при малой рабочей высоте у опоры. Это три ситуации:

Скалывание у стальной балки

У стали нет продольного волокнистого строения, поэтому нет и слабого скалывания вдоль волокон. Касательные напряжения в стальной балке воспринимает стенка, и её проверяют на срез по расчётному сопротивлению сдвигу Rs, одинаковому во всех направлениях (СП 16.13330.2017). У прокатного двутавра запас по срезу стенки обычно велик, и опорную зону лимитирует не срез, а местная устойчивость стенки под реакцией. Природа касательной проверки та же, что у дерева, но у изотропной стали нет направления, вдоль которого материал раскалывался бы особенно легко.

Проверьте свою балку

Задайте в Timba схему и нагрузку — программа посчитает эпюру поперечных сил и проверит скалывание у каждой опоры вместе с изгибом, прогибом, смятием и устойчивостью. Бесплатно и без регистрации.

Открыть калькулятор балки

Источники