Расчёт балки на смятие

Смятие на опоре — проверка, которую в частном строительстве чаще всего пропускают, считая формальной. Она и правда почти всегда проходит с большим запасом, но ровно до тех пор, пока опора не становится узкой, а реакция — большой. Чтобы понять, где проходит эта граница, начать придётся со строения самой древесины: смятие поперёк волокон вытекает прямо из того, как устроено дерево на уровне клеток.

Почему древесина слаба поперёк волокон

Древесина по строению неоднородна: это плотный пучок вытянутых пустотелых клеток. У хвойных пород, из которых делают почти весь конструкционный пиломатериал, до 90 % объёма занимают трахеиды: длинные веретеновидные клетки длиной 1–10 мм при толщине в единицы микрометров, то есть в сотню с лишним раз длиннее своей ширины (Wood Handbook, гл. 3). Каждая трахеида устроена как трубка: жёсткая целлюлозно-лигниновая стенка вокруг полой внутренней камеры (люмена). По сути древесина состоит из двух вещей: из воздуха в люменах и из стенок клеток. Плотность породы определяется тем, какова доля толстостенных клеток.

Эти трубки ориентированы вдоль ствола, то есть вдоль волокон. Отсюда вытекает вся механика:

• Вдоль волокон нагрузка идёт по оси трубок. Стенки работают как колонны, поставленные торцом: целлюлозные микрофибриллы натянуты по длине клетки, и сопротивление велико. Именно вдоль волокон древесина сжимается и растягивается с расчётным сопротивлением в десятки мегапаскалей.
• Поперёк волокон нагрузка давит на трубки сбоку. Воспринимают её только тонкие боковые стенки клеток, а внутри каждой пустой люмен, которому нечем сопротивляться. Стенки прогибаются, люмены схлопываются, и клетки складываются одна за другой. Это и есть смятие поперёк волокон.

Разница колоссальна: доска сосны 2-го сорта сопротивляется изгибу вдоль волокон с расчётным сопротивлением 19,5 МПа (таблица 3 СП 64), а местному смятию поперёк волокон на опоре — всего 4,5 МПа, вчетверо меньше. Разрушение при этом вязкое, постепенное: под нагрузкой поперёк волокон древесина не трескается и не ломается со звуком, а медленно уплотняется. Опорная площадка вдавливается в тело балки, конструкция оседает на опорах, в отделке появляются трещины, а сама балка в пролёте при этом остаётся целой. Поэтому смятие нормируют по деформации, а не по факту разлома: превышение сопротивления означает недопустимое обмятие узла; до обрушения балки при этом далеко.

Формула и расчётное сопротивление

Механически смятие — простейшая из всех проверок балки. Напряжение равно опорной реакции, размазанной по площади опирания:

Площадь смятия — прямоугольник контакта: ширина балки b умножается на длину опирания lоп (в интерфейсе программы это поле b_оп). Опорную реакцию для однопролётной балки с равномерной нагрузкой даёт справочная формула R = q·L/2, где q — расчётная погонная нагрузка, та же, что в расчёте на изгиб. Для многопролётных балок реакции считаются по схеме и оказываются заметно неравномерными — к этому вернёмся в примере.

Расчётное сопротивление местному смятию в опорных частях конструкций задано таблицей 3 СП 64.13330.2017, позиция 4а: Rсм90 = 4,5 МПа, одинаково для всех трёх сортов. Сорт здесь не играет роли по прямому следствию строения: поперёк волокон работают боковые стенки клеток, а не продольная структура, по которой древесину сортируют. Слабы поперёк все одинаково.

Табличное значение умножается на коэффициенты условий работы по п. 6.9 СП 64. Для сухого отапливаемого помещения большинство из них равны единице, но всегда действует коэффициент длительности m_дл по таблице 4: под длительной нагрузкой древесина выдерживает меньше, чем при кратковременной. Для перекрытия с полезной нагрузкой это режим В — совместное действие постоянной, длительной временной нагрузок и нагрузок от людей на перекрытия жилых и общественных зданий (таблица 4 СП 64), m_дл = 0,66:

Тонкость норм: для режимов нагружения Г–К (сочетания со снеговой, ветровой, монтажной и сейсмической нагрузками) смятие поперёк волокон дополнительно умножается на коэффициент m_см = 1,15 (п. 6.9к СП 64). Режим В перекрытий с нагрузкой от людей в этот перечень не входит, поэтому в примерах ниже m_см нет.

Минимальная длина опирания

Прежде чем считать смятие, длину опирания нужно назначить, и назначить осмысленно. Здесь есть ловушка: СП 64 не задаёт конкретного минимума для опирания балки на стену. Длину опирания задаёт конструкция узла, а не расчёт смятия: она живёт в практике проектирования и типовых решениях.

Практика для деревянных балок перекрытия — опирание на каменную или кирпичную стену не менее 150 мм, на деревянную обвязку или прогон — не менее высоты, достаточной для гвоздевого или иного крепления узла. Опирание концом на стену короче 100 мм для балки перекрытия считается недопустимым независимо от того, что показывает расчёт смятия: слишком мал резерв на неточность монтажа, усушку и смещения, слишком велик риск скола торцевого участка. Это ограничение относится к торцевому опиранию; когда неразрезная балка проходит над промежуточной опорой транзитом, речь идёт не о заведении торца, а о ширине опорной площадки под сплошной балкой, и минимум в 100 мм к ней не применяется. Именно поэтому в расчёте нет смысла подбирать «минимально проходящую по смятию» длину опирания — она задаётся узлом, а расчёт лишь подтверждает, что назначенного опирания достаточно.

Полноценный опорный узел деревянной балки, помимо длины опирания, включает: гидроизоляционную прокладку между древесиной и камнем (два слоя рубероида или аналог), антисептирование опёртого конца, а для наружных и влажных стен — вентиляционный зазор 30–50 мм между торцом балки и задней стенкой гнезда, чтобы конец проветривался и не загнивал. Эти требования к расчёту смятия отношения не имеют, но без них правильный по числам узел всё равно окажется недолговечным.

Числа опирания (150 мм, зазор 30–50 мм) — устоявшаяся практика и рекомендации типовых узлов, а не пункт СП; расчётное значение здесь только одно — Rсм90 из таблицы 3.

Пример 1. Балка на стене

Дано. Та же балка, что в статьях об изгибе и прогибе: однопролётная, L = 4 м, шаг 0,6 м, доска 50×200, сосна 2-го сорта, расчётная нагрузка q = 1,81 кН/м (сбор нагрузки разобран в статье об изгибе). Опирание на кирпичную стену принято 150 мм по практике узла.

Использование 16 % означает шестикратный запас. При нормально назначенном опирании на стену смятие деревянной балки перекрытия почти всегда проходит именно так, и в этом смысле его репутация «формальной проверки» заслуженна. Но заслуженна она только для этого узла — балка на широкой стене. Стоит поменять опору, и картина меняется.

Пример 2. Двухпролётная балка на прогоне

Дано. Та же доска 50×200 и та же нагрузка q = 1,81 кН/м, но балка неразрезная, на двух пролётах по 4 м, и средней опорой служит стальной прогон — балка ложится на полку прогона шириной 50 мм. Это распространённый узел в каркасных и мансардных перекрытиях.

У неразрезной двухпролётной балки реакция средней опоры превышает половину нагрузки и по расчётной схеме достигает 1,25·q·L (крайние опоры при этом разгружаются до 0,375·q·L):

Теперь считаем смятие на средней опоре, где ширина опирания — всего полка прогона 50 мм:

Проверка, которая в первом примере давала шестикратный запас, здесь провалена. Сошлись две причины: реакция средней опоры в два с половиной раза больше опорной реакции балки на стене из первого примера, а площадь опирания втрое меньше. Ни высота сечения, ни пролёт тут ни при чём — балка по изгибу и прогибу может проходить с запасом, а узел опоры её всё равно не пропустит.

Как исправить. Сечение менять бесполезно: смятие зависит от площади контакта, а не от высоты балки. Работают три пути: увеличить площадь опирания, снизить давление или подставить более прочный на смятие материал.

На практике под балку на узкой стальной опоре кладут распределительную подкладку (стальную пластину или деревянный опорный брусок поперёк волокон балки), которая увеличивает площадь смятия. Полка 75 мм уже даёт рабочий запас, 100 мм — комфортный.

Когда смятие важно знать

Из двух примеров виден общий принцип: смятие требует внимания там, где давление на единицу площади опоры велико. Это три ситуации:

• Узкая опора. Полка стального уголка или прогона, металлический башмак, опорный столик — площадь опирания в разы меньше, чем на стене.
• Большая реакция. Средняя опора неразрезной балки, балка-прогон, собирающая нагрузку с большой площади, короткий пролёт с высокой нагрузкой.
• Сосредоточенная сила поперёк волокон. Стойка или колонна, опёртая сверху на балку, создаёт ту же задачу смятия в месте контакта — и там сминается уже не опорный конец, а середина балки под точечной нагрузкой.

Смятие у стальной балки

У стали нет анизотропии волокон, поэтому понятия «смятие поперёк волокон» у неё нет вовсе. Вместо этого на опоре стальной балки проверяют местную прочность и устойчивость стенки в зоне опорной реакции: узкая стенка двутавра под сосредоточенной опорной силой может потерять устойчивость и выпучиться. Когда реакция велика, в опорном сечении ставят поперечные рёбра жёсткости, передающие нагрузку на стенку без её смятия (СП 16.13330.2017). Механика другая, но логика та же: и у дерева, и у стали опорный узел остаётся самостоятельной задачей, отдельной от расчёта на изгиб.

Источники

• СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»: таблица 3 (расчётные сопротивления, поз. 4а — смятие поперёк волокон), таблица 4 и п. 6.9 (коэффициенты условий работы), п. 6.9к (коэффициент m_см).
• Forest Products Laboratory. Wood Handbook — Wood as an Engineering Material. Chapter 3: Structure and Function of Wood. FPL-GTR-190 (строение древесины, доля и размеры трахеид, стенка и люмен).
• Практика опорных узлов деревянных балок перекрытия (длина опирания, гидроизоляция, вентзазор) — типовые решения деревянного домостроения.