Расчёт балки на устойчивость плоской формы
Устойчивость плоской формы изгиба — единственная из пяти проверок балки, где древесина может отказать, не дойдя по напряжению даже до половины своей прочности. Высокая узкая балка со свободной верхней кромкой при некотором моменте выгибается вбок и закручивается — теряет плоскую форму изгиба. Разберём, откуда берётся этот отказ, как его считает коэффициент φм по СП 64, и почему обычный дощатый настил над балкой чаще всего снимает проверку целиком.
Что проверяет устойчивость плоской формы
Четыре предыдущие проверки балки — изгиб, прогиб, смятие и скалывание — сравнивают напряжение или перемещение с тем, что материал способен выдержать. Устойчивость плоской формы устроена иначе. Здесь балка может разрушиться раньше, чем напряжение в древесине дойдёт до предела: сама плоская форма изгиба теряет устойчивость, как теряет её сжатый стержень, который при некоторой силе внезапно выгибается вбок. Это тоже первая группа предельных состояний, но проверяется не прочность волокна, а устойчивость геометрической формы.
Когда балка изгибается в своей вертикальной плоскости, верхняя её часть сжимается, нижняя растягивается. Сжатая верхняя кромка тянется вдоль всего пролёта как длинный сжатый пояс. Если ничто не удерживает эту кромку от бокового смещения, при некотором значении момента она выгибается в сторону, а вслед за ней всё сечение поворачивается вокруг продольной оси — балка выходит из плоскости изгиба с закручиванием сечения. Отказ наступает внезапно и при напряжениях ниже расчётного сопротивления изгибу. Проверка на устойчивость плоской формы вводит в расчёт коэффициент φм, снижающий несущую способность по изгибу ровно настолько, насколько форма склонна потерять устойчивость.
Почему высокая узкая балка теряет устойчивость
Боковому выгибу сжатой кромки сопротивляются две жёсткости сечения: жёсткость балки на изгиб относительно вертикальной, «узкой» оси и жёсткость на кручение. Обе резко растут с шириной сечения b и падают с длиной незакреплённого участка. Жёсткость на боковой изгиб пропорциональна кубу ширины, поэтому именно ширина в конечном счёте определяет устойчивость: сузить сечение вдвое — и запас устойчивости падает вчетверо. Высокое узкое сечение на длинном пролёте со свободной верхней кромкой — это самая опасная для устойчивости геометрия: боковой изгиб слаб, кручение слабо, а сжатая кромка длинная и ничем не удержана.
Здесь строение древесины возвращает нас к тому же слабому месту, что и в скалывании. Закручивание сечения — это кручение, а кручение сдвигает древесину вдоль волокон. Сопротивляется сдвигу тонкая лигниновая прослойка между клетками-трахеидами — та самая срединная пластинка, по которой древесина скалывается. Поэтому модуль сдвига древесины вдоль волокон примерно в пятнадцать-шестнадцать раз меньше её модуля упругости вдоль волокон (Wood Handbook, гл. 5), тогда как у стали модуль сдвига меньше модуля упругости лишь примерно в два с половиной раза. Жёсткость на кручение определяется модулем сдвига, а он у древесины мал. Древесина закручивается при меньшем моменте, чем сталь той же изгибной жёсткости: слабая связь между клетками, из-за которой древесина скалывается, здесь оборачивается низким сопротивлением кручению.
Формула и коэффициент φм
Проверку устойчивости плоской формы изгиба задаёт формула (30) пункта 7.14 СП 64.13330.2017:
формула (30), п. 7.14 СП 64.13330.2017;
M — расчётный изгибающий момент, Н·мм;
φм — коэффициент устойчивости плоской формы изгиба;
Wбр — момент сопротивления сечения брутто, мм³;
Rи — расчётное сопротивление изгибу, МПа.
Коэффициент φм — это доля несущей способности, которая остаётся у балки с учётом её склонности потерять плоскую форму. Его вычисляет формула (31) того же пункта:
формула (31), п. 7.14 СП 64.13330.2017;
b — ширина сечения, мм;
h — высота сечения, мм;
lp — расстояние между закреплениями сжатой кромки из плоскости изгиба; у нераскреплённой балки равно пролёту, мм;
kф — коэффициент, учитывающий форму эпюры моментов, таблица Е.1 СП 64;
φм принимается не более единицы.
В этой формуле собран весь смысл проверки. Ширина сечения b входит в квадрате — это та самая жёсткость на боковой изгиб и кручение, что удерживает кромку. Длина незакреплённого участка lp стоит в знаменателе: чем длиннее свободная кромка, тем меньше φм. Высота h тоже в знаменателе — высокое сечение при узкой ширине склонно к потере устойчивости сильнее. Коэффициент kф учитывает, что момент по длине непостоянен: у балки под равномерной нагрузкой он максимален лишь в середине, и для нераскреплённого элемента программа берёт kф консервативно равным единице. Наконец, φм ограничен единицей: если по формуле выходит больше, устойчивость плоской формы обеспечена и проверка сводится к обычному изгибу.
Расчётное сопротивление изгибу цельной древесины сосны 2-го сорта — 19,5 МПа (таблица 3, позиция 1 СП 64). Для перекрытия с нагрузкой от людей (режим В таблицы 4) к нему применяется коэффициент длительности mдл = 0,66. Проверку удобно записать так, чтобы слева стояло действующее напряжение, а справа — сопротивление, уже сниженное и длительностью, и коэффициентом устойчивости:
эквивалент формулы (30) в напряжениях;
Rи = 19,5 МПа — таблица 3, позиция 1 СП 64;
mдл = 0,66 — режим В, таблица 4 СП 64;
φм — коэффициент устойчивости плоской формы по формуле (31).
Пример 1. Балка без раскрепления
Дано. Та же балка серии, что и в соседних разборах: однопролётная, L = 4 м, шаг 0,6 м, доска 50×200, сосна 2-го сорта, расчётная нагрузка q = 1,81 кН/м (сбор нагрузки разобран в статье об изгибе). Балка поставлена на ребро, верхняя сжатая кромка ничем не раскреплена по длине.
справочная формула сопротивления материалов для прямоугольного сечения.
σ = M / Wбр = 3,62 · 10⁶ / 333 333 = 10,9 МПа
справочные формулы: изгибающий момент однопролётной балки под равномерной нагрузкой и нормальное напряжение при изгибе.
b = 50 мм; h = 200 мм; lp = 4000 мм — пролёт целиком, кромка не раскреплена;
kф = 1 — форма эпюры не уточняется (консервативно).
КИ = σ / (Rи · mдл · φм) = 10,9 / 5,66 = 1,93 → 193 % → не проходит
Балка, у которой напряжение по изгибу всего 11 МПа при пределе 19,5, по устойчивости плоской формы перегружена почти вдвое. Коэффициент φм = 0,44 снизил несущую способность более чем вдвое — узкое высокое сечение на четырёхметровом пролёте со свободной кромкой само по себе неустойчиво. В таком виде, на ребре, без настила и без раскреплений, ставить её нельзя. Но стоит закрепить сжатую кромку, и картина меняется полностью.
Пример 2. Та же балка под настилом
Верхнюю кромку балки перекрытия почти всегда прижимает настил: плотно уложенная и прибитая к балкам доска пола, фанера или ОСП. Такой настил не даёт сжатой кромке уйти вбок — расстояние lp между точками её закрепления становится малым, кромка держится по всей длине. По формуле (31) φм при этом получается больше единицы, а значит принимается равным единице: устойчивость плоской формы обеспечена, и проверка (30) превращается в обычную проверку на изгиб.
σ = M / Wбр = 10,9 МПа
Rи · mдл · φм = 19,5 · 0,66 · 1 = 12,9 МПа
КИ = 10,9 / 12,9 = 0,84 → 84 % → проходит
Восемьдесят четыре процента — ровно тот же результат, что даёт проверка на изгиб для этой балки. Так и должно быть: при φм = 1 устойчивость плоской формы и есть проверка на изгиб. Одна деталь монтажа, прибитый сверху настил, переводит балку из перегруза 193 % в спокойный запас. Поэтому устойчивость плоской формы редко лимитирует готовое перекрытие с жёстким настилом и почти всегда становится самой неблагоприятной для балки на ребре без раскреплений: в стадии монтажа, у открытых балок без настила, у прогонов и стропильных ног до укладки обрешётки.
Когда устойчивость важно знать
Из двух примеров виден принцип: устойчивость плоской формы требует внимания там, где узкая высокая балка несёт изгиб на длинном участке со свободной сжатой кромкой. Это три ситуации:
- Балка на ребре без настила. Сжатая кромка ничем не прижата — самый частый и самый опасный случай. Пока настил не уложен, балка рассчитывается с полным, непринятым за единицу коэффициентом φм из формулы (31).
- Стадия монтажа. Балки и прогоны, уже поставленные на опоры, но ещё не раскреплённые настилом или связями, проходят через момент, когда устойчивость плоской формы — их самая неблагоприятная проверка. Отказ на этой стадии — потеря устойчивости с опрокидыванием набок под собственным весом и весом рабочего.
- Высокие узкие сечения на длинном пролёте. Чем больше отношение высоты к ширине и чем длиннее незакреплённый участок, тем меньше φм. Клеёные балки большой высоты и дощатые прогоны на ребро — обычные кандидаты на эту проверку.
И обратное правило: жёсткий настил, прибитый к сжатой кромке по всей длине, раскрепляет её и чаще всего снимает проверку — φм становится равным единице. Именно поэтому в готовом перекрытии устойчивость плоской формы обычно уходит на второй план, уступая изгибу и прогибу.
Устойчивость плоской формы у стальной балки
У стали то же явление называют потерей устойчивости при изгибе, и для узких высоких балок оно даже заметнее: прокатный двутавр и полоса на ребро — классические случаи бокового выпучивания сжатого пояса. СП 16.13330.2017 вводит коэффициент φb, снижающий несущую способность так же, как φм у дерева, и зависящий от тех же величин — ширины пояса, высоты и длины незакреплённого участка. Разница в материале: у стали модуль сдвига ближе к модулю упругости, поэтому на кручение она сопротивляется относительно лучше, но стальные сечения бывают куда более тонкими и высокими, и раскрепление сжатого пояса связями там — центральная тема расчёта. Природа проверки одна и та же: сжатый пояс изгибаемого элемента ведёт себя как сжатый стержень и стремится выгнуться вбок.
Проверьте свою балку
Задайте в Timba схему, сечение и раскрепление кромки — программа посчитает коэффициент φм и проверит устойчивость плоской формы вместе с изгибом, прогибом, смятием и скалыванием. Бесплатно и без регистрации.
Открыть калькулятор балкиИсточники
- СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»: формулы (30) и (31) п. 7.14 (устойчивость плоской формы изгиба, коэффициент φм), таблица Е.1 (коэффициент kф формы эпюры моментов), таблица 3 позиция 1 (расчётное сопротивление изгибу), таблица 4 и п. 6.9 (коэффициенты условий работы, mдл).
- Forest Products Laboratory. Wood Handbook — Wood as an Engineering Material. Chapter 5: Mechanical Properties of Wood, FPL-GTR-190 (соотношение модуля сдвига и модуля упругости древесины); Chapter 3: Structure and Function of Wood (трахеиды, срединная пластинка).
- СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции»: устойчивость плоской формы изгиба стальных балок, коэффициент φb.
- Курс сопротивления материалов, теория устойчивости плоской формы изгиба (боковое выпучивание сжатой зоны изгибаемого элемента).