Расчёт деревянной балки

Рассчитать деревянную балку — значит собрать на неё нагрузку и провести пять проверок по нормам: убедиться, что балка не сломается и не провиснет сверх допустимого. Ниже — вся методика по шагам, разобранный пример по реальному сечению с числами для самопроверки и ссылки на подробный разбор каждой проверки. В конце ту же балку можно за минуту пересчитать в калькуляторе Timba — бесплатно и без регистрации.

Что входит в расчёт деревянной балки

Нормы делят расчёт на две группы предельных состояний. Первая группа отвечает на вопрос, выдержит ли балка: это проверки прочности и устойчивости, где действующее усилие сравнивается с несущей способностью древесины. Вторая группа отвечает на вопрос, будет ли конструкцией удобно пользоваться: перекрытие может уверенно нести нагрузку и при этом заметно провисать и давать зыбкость под шагами.

Для балки это складывается в пять проверок. По первой группе — изгиб, скалывание вдоль волокон, смятие на опоре и устойчивость плоской формы изгиба. По второй группе — прогиб. Сечение годится к работе только тогда, когда проходят все пять; достаточно не пройти одной, чтобы сечение пришлось увеличивать. Прочность и устойчивость считают по СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции», нагрузки и предельные прогибы — по СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия».

Порядок расчёта по шагам

Порядок один и тот же независимо от сечения и пролёта:

• Собрать нагрузку. Постоянная (вес пирога пола, подшивки, самой балки) и временная (люди, мебель, снег для покрытий). Состав временной нагрузки зависит от того, что несёт балка: у перекрытия это люди и мебель, а у покрытия без стен добавляется ветер снизу, с которым отдельно считается балка навеса. Для проверок прочности нагрузки берутся расчётные — с коэффициентами надёжности γ_f; для прогиба нормативные и только их длительная часть. Нагрузку с площади перекрытия переводят в погонную на балку умножением на шаг балок — грузовую полосу.
• Задать сечение и схему. Ширина, высота, пролёт, число пролётов, тип опор. Отсюда берутся момент сопротивления W и момент инерции I.
• Провести пять проверок. По каждой считается коэффициент использования — отношение действующей величины к предельной. КИ ≤ 100 % означает, что проверка пройдена.
• Подобрать сечение. Если хотя бы одна проверка не проходит, высоту или ширину увеличивают и повторяют расчёт. Обычно растят высоту: она входит в жёсткость кубом, а в момент сопротивления квадратом.

Пять проверок балки

Пять проверок — это пять разных мест одной и той же балки: каждая ищет свой предел в своей точке. Изгиб проверяется в середине пролёта, прогиб набирается по всей длине, смятие и скалывание живут у опор, устойчивость — на сжатой верхней кромке. Схема ниже показывает, где именно ищут каждую из них:

Каждая проверка разобрана в отдельной статье — с физикой явления через строение древесины, формулой из СП и примером на числах. Коротко о каждой:

• Изгиб. Нормальные напряжения от изгибающего момента сравниваются с расчётным сопротивлением изгибу: σ = M/W ≤ R_и. Для лёгких перекрытий на средних пролётах это одна из проверок с наименьшим запасом.
• Прогиб. Вертикальное перемещение середины пролёта сравнивается с предельным по СП 20. Это вторая группа предельных состояний: она отвечает за пригодность перекрытия к нормальной эксплуатации: за то, чтобы пол не зыбило и отделка не трескалась.
• Смятие на опоре. Давление балки на опорную площадку сравнивается с сопротивлением смятию поперёк волокон — самой слабой из работ древесины. На узких опорах запас по этой проверке наименьший.
• Скалывание. Касательные напряжения у опор сравниваются с сопротивлением скалыванию вдоль волокон. Для длинных балок проходит с запасом; подрезка опорного конца снижает рабочую высоту и повышает КИ по скалыванию.
• Устойчивость плоской формы. Высокая узкая балка со свободной сжатой кромкой может потерять плоскую форму изгиба раньше, чем исчерпает прочность. Раскрепление кромки настилом обычно снимает проверку.

Пример: балка 50×200 целиком

Дано. Балка перекрытия жилого дома: пролёт L = 4 м, шаг 0,6 м, доска 50×200 на ребро, сосна 2-го сорта. Опирание на стену шириной 150 мм, опорный конец без подрезки, верхняя сжатая кромка раскреплена настилом пола. Сбор нагрузки разобран в статьях об изгибе и прогибе: расчётная погонная нагрузка q = 1,81 кН/м, нормативная длительная для прогиба q_н = 0,82 кН/м.

Две нагрузки различаются потому, что различаются вопросы. Прочность и устойчивость считают на расчётные нагрузки, то есть на нормативные значения, умноженные на коэффициенты надёжности γ_f: отсюда q = 1,81 кН/м. Прогиб же относится ко второй группе предельных состояний, а по п. 8.2.3 СП 20.13330.2016 прогибы вычисляют на нормативные нагрузки, без γ_f. Из временных при этом берётся длительная часть: полезная нагрузка входит с коэффициентом 0,35 (табл. Д.1, поз. 2а СП 20.13330.2016). Так и получается q_н = 0,82 кН/м, вдвое меньше расчётной.

Проведём все пять проверок и сведём коэффициенты использования в таблицу. Каждое число подробно выведено в соответствующей статье — здесь показываем итог, чтобы увидеть картину целиком:

Предельные значения, с которыми сравниваются напряжения и прогиб во второй колонке таблицы, получены так:

• 12,9 МПа — расчётное сопротивление изгибу с учётом режима нагружения: R_и · m_дл = 19,5 · 0,66 = 12,9 МПа. Здесь 19,5 МПа — сосна 2-го сорта, табл. 3, поз. 1 СП 64.13330.2017; 0,66 — коэффициент длительной прочности для режима В, табл. 4 СП 64.13330.2017.
• 23,3 мм — предельный прогиб по табл. Д.1, поз. 2а СП 20.13330.2016 («балки, прогоны, плиты покрытий и перекрытий, открытых для обзора»). Табличные значения даны для пролётов 3 и 6 м (L/150 и L/200), для 4 м предел получен линейной интерполяцией: 20 + (30 − 20) · (4 − 3) / (6 − 3) = 23,3 мм.
• 2,97 МПа — расчётное сопротивление смятию поперёк волокон: R_см,90 · m_дл = 4,5 · 0,66. Значение 4,5 МПа — табл. 3, поз. 4а СП 64.13330.2017 (смятие поперёк волокон по всей площади).
• 1,58 МПа — расчётное сопротивление скалыванию вдоль волокон: R_ск · m_дл = 2,4 · 0,66. Значение 2,4 МПа — табл. 3, поз. 5а СП 64.13330.2017 (скалывание при изгибе элементов из цельной древесины).

Балка 50×200 в этом узле проходит все пять проверок. Самой неблагоприятной проверкой для этого элемента оказался изгиб; практически такой же коэффициент использования получился и по устойчивости плоской формы, а остальные проверки далеки от предела.

Как читать 84 %. Коэффициент использования 84 % означает, что балка нагружена на 0,84 своей несущей способности по изгибу, то есть запас составляет примерно 1,19 раза: 1 / 0,84 ≈ 1,19. До предела остаётся ещё 16 % сопротивления, причём сам предел уже посчитан с нормативными запасами: расчётное сопротивление снижено коэффициентами надёжности по материалу и коэффициентом длительной прочности. Проверка пройдена при КИ ≤ 100 %, и 84 % — штатная рабочая загрузка сечения, а не признак близкой аварии.

Почему устойчивость дала те же 84 %. Сплошной настил пола, закреплённый по верхней кромке балки, не даёт сжатой кромке сместиться вбок: свободного участка, на котором балка могла бы потерять плоскую форму изгиба, попросту не остаётся. Тогда коэффициент устойчивости φ_м принимается равным единице, и проверка по формулам (30), (31) п. 7.14 СП 64.13330.2017 вырождается в ту же проверку на изгиб, отсюда и одинаковые 84 % в двух строках таблицы.

О совпадении чисел 10,9. В строке изгиба 10,9 МПа — нормальное напряжение, в строке прогиба 10,9 мм — вертикальное перемещение середины пролёта. Это величины разной природы и в разных единицах, совпадение цифр здесь случайное, опечатки в таблице нет.

Смятие в этом примере считается по сопротивлению поперёк волокон R_см,90 с коэффициентом длительности; на широкой стене площадь опирания велика, поэтому запас большой, а на узком прогоне КИ по смятию резко растёт (разобрано в статье о смятии). Если снять настил и оставить сжатую кромку свободной, устойчивость перестаёт проходить: КИ по устойчивости достигает 193 %, как показано в статье об устойчивости.

Границы ручного расчёта

Однопролётную балку с шарнирными опорами и равномерной нагрузкой можно посчитать вручную по формулам из набора статей:

Как только появляется второй пролёт, консоль, сосредоточенная сила от стойки или частичная нагрузка, ручные формулы перестают работать: над средней опорой возникает отрицательный момент, эпюры перераспределяются, а худшим часто оказывается не полное загружение, а нагрузка через пролёт. Тогда балку считают численно — по схеме целиком, с перебором сочетаний нагрузок. Timba строит эпюры моментов, поперечных сил и прогибов для схемы любой сложности, сама подставляет расчётные сопротивления по сорту и режиму нагружения и закрывает все пять проверок по СП 64 и СП 20.

Частые вопросы

Источники

• СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»: расчётные сопротивления (таблица 3), коэффициенты условий работы (таблица 4, п. 6.9), проверки изгиба (ф. 23 п. 7.9), скалывания (ф. 24 п. 7.10), смятия (п. 7.11), устойчивости плоской формы (ф. 30, 31 п. 7.14), модуль упругости и его снижение (прил. В.2, п. 6.10).
• СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия»: нормативные нагрузки (таблица 8.3), коэффициенты надёжности γ_f (раздел 8), предельные прогибы (таблица Д.1), определение прогибов по нормативным нагрузкам (п. 8.2.3).