Как рассчитать стропильную систему

Стропильная нога — это балка, поставленная под наклон. Считают её по тем же проверкам, что и балку перекрытия, но с двумя поправками: нагрузку собирают с наклонного ската, а сама нога вдобавок к изгибу сжата вдоль оси. Разберём, как собрать снеговую и постоянную нагрузку на скат, почему изгибающий момент стропила удобно считать по горизонтальной проекции, и доведём расчёт наслонного стропила до чисел.

Что считают в стропильной системе

Стропильная система передаёт нагрузку кровли на стены и внутренние опоры. Её главный несущий элемент — стропильная нога, наклонный брус или доска на ребро, воспринимающий снег и вес кровли. По характеру работы стропила делят на наслонные и висячие: наслонные опираются на мауэрлат внизу и на прогон или конёк вверху, работая как наклонные балки на опорах; висячие опираются только по краям и распираются затяжкой, образуя треугольную ферму. Здесь разберём самый частый в частном доме случай — наслонное стропило как наклонную балку.

Стропило проверяют по тем же предельным состояниям, что и балку перекрытия: по прочности на изгиб и по прогибу, а при заметной продольной силе — как сжато-изгибаемый элемент. Отдельная работа — узлы опирания и сопряжения, но несущую способность самой ноги определяют изгиб и деформативность.

Расчётная схема стропила

Наслонное стропило рассматривают как балку на двух опорах: снизу мауэрлат по стене, сверху прогон, стойка или коньковый узел. Пролёт такой балки удобно задавать не длиной ската, а его горизонтальной проекцией — расстоянием между опорами по горизонтали. Причина в том, что и снег, и вес кровли действуют вертикально, вниз, а вертикальную нагрузку проще собирать и прикладывать к горизонтальной проекции ската.

Длина самого стропила связана с проекцией через уклон: чем круче скат, тем длиннее нога при той же проекции.

Сбор нагрузок на скат

На стропило действуют две основные нагрузки: снеговая и постоянная от собственного веса кровли, обрешётки и самого стропила. Тонкость в том, что заданы они на разные площади.

Снеговая нагрузка по СП 20 отнесена к горизонтальной проекции покрытия — её берут прямо в том виде, в каком получили при расчёте снеговой нагрузки. Собственный вес кровли задан на квадратный метр ската, то есть наклонной поверхности; чтобы сложить его со снегом, вес приводят к той же горизонтальной проекции делением на cos α. После этого обе нагрузки складывают и переводят с квадратного метра проекции в погонную на одно стропило умножением на шаг стропил — грузовую полосу.

Для проверок прочности нагрузки берут расчётные: снеговую с коэффициентом надёжности γ_f = 1,4 (п. 10.12 СП 20), постоянную с γ_f = 1,1 для собственного веса деревянных конструкций (таблица 7.1 СП 20). Для расчёта прогиба берут нормативные значения и только длительную часть — об этом ниже.

Изгибающий момент наклонной балки

Здесь работает ключевое упрощение, ради которого пролёт задавали по горизонтали. Наклонная балка под вертикальной равномерной нагрузкой изгибается точно так же, как горизонтальная балка того же горизонтального пролёта под той же нагрузкой. Наибольший изгибающий момент считается по знакомой формуле, где вместо длины ската стоит его горизонтальная проекция:

Работает это потому, что изгибающий момент от вертикальной силы равен произведению силы на горизонтальное плечо, а горизонтальное плечо и есть проекция. Наклон уже учтён в самой проекции, поэтому дополнительно домножать на косинусы не нужно — частая ошибка ручного расчёта, когда наклон учитывают дважды.

Стропило как сжато-изгибаемый элемент

Изгибом работа стропила не исчерпывается. Вертикальная нагрузка раскладывается на две составляющие относительно оси наклонной ноги: перпендикулярная оси вызывает изгиб, а направленная вдоль оси сжимает стропило по длине. Поэтому строго стропило — сжато-изгибаемый элемент: в нём одновременно действуют изгибающий момент и продольная сжимающая сила.

Древесина вдоль волокон хорошо сопротивляется сжатию, и для пологих скатов продольная сила невелика, поэтому в первом приближении стропило часто проверяют только на изгиб. Но с ростом уклона и при распорных схемах, где нижний конец даёт горизонтальный распор на стену, продольная сила растёт, и её учитывают по формуле сжато-изгибаемого элемента СП 64 (п. 7.20). Полный расчёт с продольной силой и по деформированной схеме ведёт программа; вручную обычно считают изгиб и отдельно оценивают сжатие.

Пример: стропило 50×200

Дано. Двускатная крыша, уклон ската α = 30°, III снеговой район. Наслонное стропило доской 50×200 на ребро, сосна 2-го сорта, шаг 0,6 м. Горизонтальная проекция пролёта между мауэрлатом и прогоном d = 3,0 м.

Шаг 1. Нагрузки на 1 м² горизонтальной проекции

Шаг 2. Погонная нагрузка на стропило

Шаг 3. Изгибающий момент и напряжение

Шаг 4. Расчётное сопротивление и запас

Стропило 50×200 на трёхметровой проекции при снеге третьего района проходит по изгибу с запасом более чем вдвое. Обратите внимание на коэффициент длительности: для сочетания «постоянная плюс снег» действует режим Г, ему отвечает m_дл = 0,66 — тот же множитель, что и у перекрытия с людьми, хотя режим другой. При более крутом скате, большем пролёте или снеге северного района запас быстро сокращается, и стропило тем же сечением уже не пройдёт.

Прогиб стропила

После прочности стропило проверяют по прогибу — как наклонную балку той же схемы. Прогиб считают по нормативным нагрузкам с длительной частью: снеговая входит в него с коэффициентом 0,5 (п. 10.11 СП 20), потому что полный расчётный снег лежит на крыше недолго. Модуль упругости для прогиба снижают коэффициентом длительности m_дл,E: для режима Г (постоянная и снег) он равен 0,9 (п. 6.10 СП 64) — снижение меньше, чем 0,75 у перекрытий, где велика доля длительной нагрузки.

Предельный прогиб берут по таблице Д.1 СП 20 для элементов покрытий и относят к длине ската. Сама механика прогиба, формула 5qL⁴/384EI и её границы разобраны в статье о расчёте балки на прогиб — для стропила меняются только состав нагрузки и коэффициент к модулю.

Источники

• СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции»: расчётное сопротивление изгибу (таблица 3), коэффициент длительности m_дл по режимам нагружения (таблица 4, режим Г — постоянная и снеговая), сжато-изгибаемые элементы (п. 7.20), снижение модуля упругости для прогибов (п. 6.10).
• СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия»: снеговая нагрузка (раздел 10), коэффициент надёжности по нагрузке γ_f (таблица 7.1 для постоянных, п. 10.12 для снега), длительная часть снеговой нагрузки для прогибов (п. 10.11), предельные прогибы (таблица Д.1).
• Курс сопротивления материалов: изгиб балки под равномерной нагрузкой, разложение нагрузки наклонного элемента на изгиб и продольную силу.